Los matemáticos han descubierto una gran nueva evidencia para una de las ideas no probadas más famosas en matemáticas, conocida como la conjetura de los primos gemelos. Pero la ruta que tomaron para encontrar esa evidencia probablemente no ayudará a probar la conjetura primo gemelo en sí misma.
La conjetura de los primos gemelos tiene que ver con cómo y cuándo los números primos, números que son divisibles solo por sí mismos y 1, aparecen en la recta numérica. Los "primos gemelos" son primos que están separados por dos pasos en esa línea: 3 y 5, 5 y 7, 29 y 31, 137 y 139, y así sucesivamente. La conjetura de los primos gemelos establece que hay infinitos primos gemelos, y que los encontrará sin importar cuán lejos vaya en la recta numérica. También establece que hay infinitos pares primos con cualquier otro espacio posible entre ellos (pares primos que están separados por cuatro pasos, separados por ocho pasos, separados por 200,000, etc.). Los matemáticos están bastante seguros de que esto es cierto. Seguro que parece que es verdad. Y si no fuera cierto, significaría que los números primos no son tan aleatorios como todos pensaban, lo que arruinaría muchas ideas sobre cómo funcionan los números en general. Pero nadie ha podido probarlo.
Sin embargo, ahora podrían estar más cerca que nunca. En un artículo publicado el 12 de agosto en la revista de preimpresión arXiv, como informó Quanta por primera vez, dos matemáticos demostraron que la conjetura de los primos gemelos es cierta, al menos en una especie de universo alternativo.
Esto es lo que hacen los matemáticos: trabajar para obtener grandes pruebas demostrando ideas más pequeñas en el camino. A veces, las lecciones aprendidas de esas pruebas más pequeñas pueden ayudar con la prueba más grande.
En este caso, los matemáticos Will Sawin de la Universidad de Columbia y Mark Shusterman de la Universidad de Wisconsin probaron una versión de la conjetura del primo gemelo para el universo alternativo de "campos finitos": sistemas numéricos que no van al infinito como la recta numérica, pero en su lugar se vuelven sobre ellos mismos.
Probablemente encuentre un campo finito todos los días en la esfera de un reloj. Va 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, y luego regresa a 1. En ese campo finito, 3 + 3 todavía es igual a 6. Pero 3 + 11 = 2.
Los campos finitos tienen polinomios o expresiones como "4x" o "3x + 17x ^ 2-4", dijo Sawin a Live Science, al igual que los números regulares. Los matemáticos, dijo, han aprendido que los polinomios sobre campos finitos se comportan de manera muy parecida a los enteros: los números enteros en la recta numérica. Las afirmaciones que son verdaderas sobre los enteros tienden a confiar también en los polinomios sobre campos finitos, y viceversa. Y al igual que los números primos vienen en pares, los polinomios vienen en pares. Por ejemplo, los gemelos de 3x + 17x ^ 2-4 son 3x + 17x ^ 2-2 y 3x + 17x ^ 2-6. Y lo bueno de los polinomios, dijo Sawin, es que a diferencia de los enteros, cuando los trazas en un gráfico, forman formas geométricas. Por ejemplo, 2x + 1 hace un gráfico que se ve así:
Y 5x + x ^ 2 hace un gráfico que se ve así:
Debido a que los polinomios trazan formas, en lugar de los puntos que obtienes cuando graficas números primos individuales, puedes usar la geometría para probar cosas sobre polinomios que no puedes probar sobre enteros simples.
"No fuimos los primeros en notar que puedes usar la geometría para comprender campos finitos", dijo Shusterman a Live Science.
Otros investigadores habían probado versiones más pequeñas de la hipótesis de los primos gemelos sobre ciertos tipos de polinomios sobre campos finitos. Pero la prueba de Sawin y Shusterman requería que los investigadores regresaran y comenzaran desde cero en muchos aspectos, dijo Sawin.
"Tuvimos una observación que nos permitió realizar un truco ... que hizo la geometría mucho más agradable para que se aplique en todos estos casos", dijo Shusterman.
Ese truco geométrico, dijo, condujo a su avance: probar que esta versión especial de la conjetura del primo gemelo es verdadera para todos los polinomios sobre campos finitos, no solo para algunos.
La mala noticia, dijo Sawin, es que debido a que su truco depende en gran medida de la geometría, probablemente no sea posible usarlo para probar la conjetura del primo gemelo. Las matemáticas subyacentes son demasiado diferentes.
Aún así, dijo Shusterman, probar que el caso de los campos finitos es una gran nueva evidencia para agregar a la pila, provocando a los matemáticos con la posibilidad de que la prueba que todos están esperando esté en alguna parte.
Es como si quisieran ver la cima de una montaña alta y empinada, y en su lugar subieron por una montaña diferente cercana. Casi pueden ver el pico distante, pero está envuelto en nubes. Y la ruta que tomaron para llegar a la cima de la segunda montaña probablemente no funcionará en la montaña que realmente les interesa.
Shusterman dijo que espera seguir trabajando con Sawin en el problema de los primos gemelos, y que siempre es posible que algo que aprendieron al hacer esta prueba resulte importante para demostrar la conjetura de los primos gemelos después de todo.
